Question

若函数f（x）=

1

3

ax³+

1

2

ax²-a+1的图象经过四个象限，则实数a的取值范围是（　　）

• A、

  5

  6

  ＜a＜1
• B、a＜1或a＞

  6

  5

• C、a＞-

  5

  6

  或a＜-1
• D、1＜a＜

  6

  5

Answer 1

考点：二次函数的性质

专题：导数的综合应用

分析：求f′（x），判断f（x）取极值的情况，判断出f（x）有两个极值f（-1），f（0），因为图象经过四个象限，所以这两个极值符号相反，所以解f（-1）f（0）＜0即得a的取值范围．

解答： 解：f′（x）=ax²+ax=ax（x+1）；
x∈（-∞，-1）时f′（x）的符号，与x∈（-1，0）时的f′（x）符号相反；x∈（-1，0）时的f′（x）符号与x∈（0，+∞）时f′（x）符号相反；
∴f（-1）=1-

5a

6

，与f（0）=1-a是极值；
∴（1-

5a

6

）（1-a）＜0，解得1＜a＜

6

5

；
∴实数a的取值范围是（1，

6

5

）．
故选：D．

点评：考查极值的概念，在极值点两边的导数符号什么特点，可通过数形结合，画出函数f（x）的图象，根据图象找a所应满足的条件．