Question

已知异面直线a，b所成的角为50°，P为空间一定点，过点P且与a，b所成的角相等的直线有4条，则过点P的直线与直线a所成角的范围是

 

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Answer 1

考点：异面直线及其所成的角

专题：空间位置关系与距离

分析：为了讨论：过点O与a、b所成的角都是θ（0°≤θ≤90°）的直线l有且仅有几条，先将涉及到的线放置在同一个平面内观察，只须考虑过点O与直线a₁、b₁所成的角都是θ（0°≤θ≤90°）的直线l有且仅有几条即可，再利用cosθ=cosθ₁•cosθ₂．进行角之间的大小比较即得．

解答： 解：过点O作a₁∥a，b₁∥b，则相交直线a₁、b₁确定一平面α．a₁与b₁夹角为50°或130°，
设直线OA与a₁、b₁均为θ角，
作AB⊥面α于点B，BC⊥a₁于点C，BD⊥b₁于点D，
记∠AOB=θ₁，∠BOC=θ₂（θ₂=25°或65°），则有cosθ=cosθ₁•cosθ₂．
因为0°≤θ₁≤90°，
所以0≤cosθ≤cosθ₂．
当θ₂=25°时，由0≤cosθ≤cos25°，得25°≤θ≤90°；
当θ₂=65°时，由0≤cosθ≤cos65°，得65°≤θ≤90°．
故当θ＜25°时，直线l不存在；
当θ=25°时，直线l有且仅有1条；
当25°＜θ＜65°时，直线l有且仅有2条；
当θ=65°时，直线l有且仅有3条；
当65°＜θ＜90°时，直线l有且仅有4条；
当θ=90°时，直线l有且仅有1条．
故答案为：65°＜θ＜90°

点评：本题主要考查了异面直线及其所成的角，以及空间想象力、转化思想方法，属于基础题．