Question

已知函数其中，
（I）若求的值；
（Ⅱ）在（I）的条件下，若函数的图像的相邻两条对称轴之间的距离等于，求函数的解析式；并求最小正实数，使得函数的图像象左平移个单位所对应的函数是偶函数。

Answer 1

（I）（Ⅱ），最小正实数

试题分析：解法一：（I）由得即又
（Ⅱ）由（I）得，  , 依题意，
又故
函数的图像向左平移个单位后所对应的函数为

是偶函数当且仅当,  即,
从而，最小正实数
解法二： （I）同解法一 
（Ⅱ）由（I）得，
依题意，,  又，故
函数的图像向左平移个单位后所对应的函数为
是偶函数当且仅当对恒成立
亦即对恒成立。

即对恒成立。    
故 
从而，最小正实数
点评：此类问题常考查三角函数图象的变换，三角函数的定义域、值域、周期性和单调性及三角函数图象与性质的简单应用等