Question

在二项式（

1

2

+2x）ⁿ的展开式中．
（Ⅰ）若第5项，第6项与第7项的二项式系数成等差数列，求展开式中二项式系数最大的项；
（Ⅱ）若前三项的二项式系数和等于79，求展开式中系数最大的项．

Answer 1

考点：二项式系数的性质

专题：二项式定理

分析：（Ⅰ）由题意可得

C

4 n

+

C

6 n

=2

C

5 n

，求得n=7，或n=14．可得展开式中二项式系数最大的项．
（Ⅱ）由

C

0 n

+

C

1 n

+

C

2 n

=79，求得n=12，设二项式（

1

2

+2x）¹² 的展开式中第k+1项的系数最大，则由

C k 12 •4k ≥C k-1 12 •4k-1 C k 12 •4k ≥C k+1 12 •4k+1

 求得k的值，从而得出结论．

解答： 解：（Ⅰ）若第5项，第6项与第7项的二项式系数成等差数列，则有

C

4 n

+

C

6 n

=2

C

5 n

，
求得n=7，或n=14．
当n=7时，二项式系数最大的项为T₄，T₅，且T₄=

C

3 7

•(

1

2

)4•（2x）³=

35

2

x³，T₅=

C

4 7

•(

1

2

)3•（2x）⁴=70x⁴．
当n=14时，二项式系数最大的项为T₈=

C

7 14

•(

1

2

)7•（2x）⁷=3432x⁷．
（Ⅱ）由于前三项的二项式系数和等于79，即

C

0 n

+

C

1 n

+

C

2 n

=79，求得n=12，
设二项式（

1

2

+2x）¹²=(

1

2

)12•（1+4x）¹²  的展开式中第k+1项的系数最大，
则有

C k 12 •4k ≥C k-1 12 •4k-1 C k 12 •4k ≥C k+1 12 •4k+1

，求得9.4＜k＜10，∴k=10，
即第11项的系数最大．

点评：本题主要考查二项式定理的应用，二项式展开式的通项公式，求展开式中某项的系数，属基础题．