Question

已知f（x）=-

1

2

x²+（a+1）x-alnx．
（1）若a=2，求f（x）的极值；
（2）当a＞0时，求f（x）的单调区间；
（3）若f（x）是单调函数，求实数a的取值范围．

Answer 1

考点：利用导数研究函数的极值,利用导数研究函数的单调性

专题：综合题,导数的概念及应用

分析：（1）求导数，确定函数的单调性，即可求f（x）的极值；
（2）求导数，利用导数的正负，可得f（x）的单调区间；
（3）由（2）可得结论．

解答： 解：（1）a=2，f（x）=-

1

2

x²+3x-2lnx，
∴f′（x）=-x+3-

2

x

=0（x＞0），可得（0，1），（2，+∞）上，f′（x）＜0，（1，2）上，f′（x）＞0，
∴x=1时，函数取得极小值2.5，x=2时，函数取得极大值4-2ln2；
（2）f′（x）=-

(x-1)(x-a)

x

，
∴0＜a＜1时，可得（0，a），（1，+∞）上，f′（x）＜0，（a，1）上，f′（x）＞0，函数的单调减区间为（0，a），（1，+∞）；单调增区间为（a，1）；
a=1时，f′（x）＜0，∴单调减区间为（1，+∞）；
a＞1时，可得（0，1），（a，+∞）上，f′（x）＜0，（1，a）上，f′（x）＞0，函数的单调减区间为（0，1），（a，+∞）；单调增区间为（1，a）；
（3）由（2）知a=1，f（x）是单调函数．

点评：本题考查利用导数研究函数的极值，考查利用导数研究函数的单调性，属于中档题．