Question

已知椭圆中心在原点，焦点在x轴上，短轴端点和焦点围成的四边形是正方形，且椭圆上的点到焦点的最大值为

2

+1．
（1）求椭圆方程；
（2）过左焦点F且不与坐标轴垂直交椭圆于A、B点，线段AB的垂直平分线交x轴于G点，求G点横坐标取值范围．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题

专题：综合题,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：（1）由题意可知：b=c，c+a=

2

+1，由此能够求出椭圆的方程．
（2）设直线AB的方程为y=k（x+1）（k≠0），代入

x2

2

+y2=1，整理得（1+2k²）x²+4k²x+2k²-2=0．由直线AB过椭圆的左焦点F，记A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），AB的中点N（x₀，y₀），x₁+x₂=

-4k2

1+2k2

，x₀=

x1+x2

2

，y₀=

y1+y2

2

，垂直平分线NG的方程为y-y₀=-

1

k

（x-x₀），由此能求出点G横坐标的取值范围．

解答： 解：（1）∵短轴端点和焦点围成的四边形是正方形，且椭圆上的点到焦点的最大值为

2

+1，
∴b=c，c+a=

2

+1，
∴b=c=1，a=

2

，
∴椭圆方程为

x2

2

+y2=1；
（2）设直线AB的方程为y=k（x+1）（k≠0），
代入

x2

2

+y2=1，整理得（1+2k²）x²+4k²x+2k²-2=0．
∵直线AB过椭圆的左焦点F，∴方程有两个不等实根．
记A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），AB中点N（x₀，y₀），则x₁+x₂=

-4k2

1+2k2

x₀=

x1+x2

2

，y₀=

y1+y2

2

垂直平分线NG的方程为y-y₀=-

1

k

（x-x₀），
令y=0，得x_G=x₀+ky₀=-

k2

2k2+1

=-

1

2

+

1

4k2+2

∵k≠0，∴-

1

2

＜x_G＜0
∴点G横坐标的取值范围为（-

1

2

，0）．

点评：本题主要考查直线与圆锥曲线的综合应用能力，综合性强，是高考的重点，易错点是知识体系不牢固．本题具体涉及到轨迹方程的求法及直线与椭圆的相关知识，解题时要注意合理地进行等价转化．