Question

已知抛物线y²=4x的焦点F，A，B是抛物线上横坐标不相等的两点，若AB的垂直平分线与x轴的交点是（4，0），则|AB|是最大值为（　　）

• A、2
• B、4
• C、6
• D、10

Answer 1

考点：抛物线的简单性质

专题：圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：依题意知，抛物线y²=4x的焦点F（1，0），设A（x₁，y₁）  B（x₂，y₂），利用线段的垂直平分线的性质可得，|MA|²=|MB|²，整理可知x₁+x₂=4，利用不等式AB≤AF+BF即可求得答案．

解答： 解：∵抛物线y²=4x的焦点F（1，0），设A（x₁，y₁）  B（x₂，y₂），
∵线段AB的垂直平分线恰过点M（4，0），
∴|MA|²=|MB|²，即(4-x1)2+y12=(4-x2)2+y22，
又y12=4x₁，y22=4x₂，代入并展开得：
16+x12-8x₁+4x₁=x22-8x₂+16+4x₂，
即x12-x22=4x₁-4x₂，又x₁≠x₂，
x₁+x₂=4，
∴线段AB中点的横坐标为

1

2

（x₁+x₂）=2，
∴AB≤AF+BF=（x₁+

p

2

）+（x₂+

p

2

）=4+2=6（当A，B，F三点共线时取等号）．
即|AB|是最大值为6．
故选：C．

点评：本题考查抛物线的简单性质，考查线段的垂直平分线的性质的应用，考查转化思想与运算求解能力，属于中档题．