Question

14．如图，已知四边形ABCD是平行四边形，点P是平面ABCD外一点，M是PC的中点，
在DM上取一点G，过G和AP作平面交平面BDM于GH．
（Ⅰ）求证：AP∥平面BDM；
（Ⅱ）若G为DM中点，求证：$\frac{GH}{PA}$=$\frac{1}{4}$．

Answer 1

分析 （I）连结AC交BD于O，连结OM，由中位线定理可得PA∥OM，故AP∥平面BDM；
（II）利用线面平行的性质可得GH∥PA，根据中位线定理即可得出结论．

解答 证明：（I）连结AC交BD于O，连结OM，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∵O是AC的中点，又M是PC的中点，
∴OM∥PA，
又OM?平面BDM，PA?平面BDM，
∴PA∥平面PBD，
（II）∵PA∥平面BDM，PA?平面PAHG，平面PAHG∩平面BDM=HG，
∴PA∥HG，又PA∥OM，
∴HG∥OM，
∵G是DM的中点，∴HG=$\frac{1}{2}$OM，
又OM=$\frac{1}{2}$PA，
∴HG=$\frac{1}{4}$PA，即$\frac{HG}{AP}=\frac{1}{4}$．

点评 本题考查了线面平行的判定与性质，属于中档题．