Question

9．已知函数f（x）=ax+lnx（a∈R），g（x）=x²-2x+2
（Ⅰ）求f（x）的单调区间；
（Ⅱ）若?x₁∈（0，+∞），均?x₂∈[0，1]，使得f（x₁）＜g（x₂），求a的取值范围．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出函数的导数，通过讨论a的范围，求出函数的单调区间即可；
（Ⅱ）问题可转化为f（x）_max＜g（x）_max，根据函数的单调性分别求出f（x）的最大值和g（x）的最大值，求出a的范围即可．

解答 解：（Ⅰ）$f'（x）=a+\frac{1}{x}=\frac{ax+1}{x}$，
①当a≥0时，∵x＞0，∴f'（x）＞0，
所以f（x）的单调增区间为（0，+∞），
②当a＜0时，
令f'（x）＞0，得$0＜x＜-\frac{1}{a}$，
令f'（x）＜0，得$x＞-\frac{1}{a}$，
所以f（x）的单调增区间为（0，$-\frac{1}{a}$），
单调减区间为（$-\frac{1}{a}$，+∞）；
（Ⅱ）问题可转化为f（x）_max＜g（x）_max，
已知g（x）=（x-1）²+1，x∈[0，1]，所以g（x）_max=2，
由（Ⅰ）知，当a≥0时，f（x）在（0，+∞）上单调递增，值域为R，故不符合题意；
当a＜0时，所以f（x）在（0，$-\frac{1}{a}$）上单调递增，在（$-\frac{1}{a}$，+∞）单调递减，
故f（x）_max=f（-$\frac{1}{a}$）=-1+ln（-$\frac{1}{a}$）=-1-ln（-a），
所以2＞-1-ln（-a），
解得：a＜-e^-3．

点评 本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及分类讨论思想，转化思想，是一道中档题．