Question

5．设抛物线C：y²=2px（p＞0）的焦点为F，点M在C上，|MF|=5，若y轴上存在点A（0，2），使得$\overrightarrow{AM}•\overrightarrow{AF}=0$，则p的值为（　　）

• A． 2或8
• B． 2
• C． 8
• D． 4或8

Answer 1

分析 求出抛物线的焦点和准线方程，设M（$\frac{{t}^{2}}{2p}$，t），运用抛物线的定义和向量的加减坐标运算和数量积的坐标表示，解方程即可得到所求值．

解答 解：抛物线C：y²=2px（p＞0）的焦点为F（$\frac{p}{2}$，0），
准线方程为x=-$\frac{p}{2}$，
设M（$\frac{{t}^{2}}{2p}$，t），由|MF|=5，
抛物线的定义可得，$\frac{{t}^{2}}{2p}$+$\frac{p}{2}$=5，①
又y轴上存在点A（0，2），使得$\overrightarrow{AM}•\overrightarrow{AF}=0$，
即有（（$\frac{{t}^{2}}{2p}$，t-2）•（$\frac{p}{2}$，-2）=0，
即有$\frac{{t}^{2}}{2p}$•$\frac{p}{2}$-2（t-2）=0，
解得t=4．
代入①，即为p²-10p+16=0，
解得p=2或8．
故选：A．

点评 本题考查抛物线的定义、方程和性质，考查向量数量积的坐标表示，以及方程思想，正确运用定义解题是关键，属于中档题．