Question

9．如图，已知a∈[2，4]，直线l₁：a²x+y-4a²-2=0，l₂：x+ay-4-2a=0，l₁交y轴的正半轴于A，l₂交x轴的正半轴于B，l₁、l₂相交于点C，试求四边形OACB面积的最大值和最小值．

Answer 1

分析 直线l₁：a²x+y-4a²-2=0，即直线l₁：a²（x-4）+（y-2）=0，经过定点（4，2）．l₂：x+ay-4-2a=0，即l₂：x-4+a（y-2）=0，经过定点（4，2）．可得l₁、l₂相交于点C（4，2），l₁交y轴的正半轴于A（0，4a²+2），l₂交x轴的正半轴于B（4+2a，0），a∈[2，4]，利用四边形OACB面积S=S_△OAC+S_△OBC=$\frac{1}{2}|OA|$•x_C+$\frac{1}{2}|OB|•{y}_{C}$及其二次函数的单调性即可得出．

解答 解：直线l₁：a²x+y-4a²-2=0，即直线l₁：a²（x-4）+（y-2）=0，经过定点（4，2）．
l₂：x+ay-4-2a=0，即l₂：x-4+a（y-2）=0，经过定点（4，2）．
∴l₁、l₂相交于点C（4，2），
l₁交y轴的正半轴于A（0，4a²+2），l₂交x轴的正半轴于B（4+2a，0），a∈[2，4]，
∴四边形OACB面积S=S_△OAC+S_△OBC
=$\frac{1}{2}|OA|$•x_C+$\frac{1}{2}|OB|•{y}_{C}$
=$\frac{1}{2}$×（4a²+2）×4+$\frac{1}{2}×（4+2a）$×2=8a²+2a+8=8$（a+\frac{1}{8}）^{2}$+$\frac{63}{8}$．
∴S在a∈[2，4]单调递增，
a=2时，S=44．a=4时，S=144．
∴S∈[44，144]，
其最大值和最小值分别为144，44．

点评 本题考查了直线系的应用、三角形面积计算公式、二次函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．