Question

10．（1）求定积分$\int_1^3{|x-2|dx}$
（2）若复数Z₁=a+2i（a∈R），Z₂=3-4i（i为虚数单位）且$\frac{{Z}_{1}}{{Z}_{2}}$为纯虚数，求|Z₁|

Answer 1

分析 （1）根据定积分的计算法则计算即可；
（2）根据复数的运算法则和纯虚数的定义，以及复数的模即可求出．

解答 解：（1）$\int_1^3{|x-2|dx}$=${∫}_{1}^{2}$（2-x）dx+${∫}_{2}^{3}$（x-2）dx
=（2x-$\frac{1}{2}$x²）|${\;}_{1}^{2}$+（$\frac{1}{2}$x²-2x）|${\;}_{2}^{3}$=（4-2）-（2-$\frac{1}{2}$）+（$\frac{9}{2}$-6）-（2-4）=1；
（2）复数Z₁=a+2i（a∈R），Z₂=3-4i（i为虚数单位）
∴$\frac{{Z}_{1}}{{Z}_{2}}$=$\frac{a+2i}{3-4i}$=$\frac{（a+2）（3+4i）}{（3-4i）（3+4i）}$=$\frac{3a-8+（6+4a）i}{25}$，
∵$\frac{{Z}_{1}}{{Z}_{2}}$为纯虚数，
∴3a-8=0，
即a=$\frac{8}{3}$，
∴|Z₁|=$\sqrt{\frac{64}{9}+4}$=$\frac{10}{3}$．

点评 本题考查了定积分的计算和复数混合运算，考查了学生的运算能力，属于基础题．