Question

已知函数f（x）=x³-3ax（a是常数），函数g（x）=|f（x）|．
（Ⅰ）若a＞0，求函数y=f（x）的单调递减区间；
（Ⅱ）求函数g（x）在区间[0，1]上的最大值．

Answer 1

考点：函数单调性的判断与证明,函数的最值及其几何意义

专题：函数的性质及应用

分析：（Ⅰ）中通过求导得出单调减区间，（Ⅱ）对a进行分类讨论结合图形得出g（x）的最大值．

解答： 解：（Ⅰ）若a＞0，f′x）=3（x+

a

）（x-

a

），令f′（x）＜0，解得：-

a

＜a＜

a

，
∴y=f（x）的减区间是：（-

a

，

a

）．
（Ⅱ）若a≤0，f′（x）≥0恒成立，f（x）在[0，1]上单调递增，
g（x）_max=|f（1）|=1-3a，
若a＞0，由（Ⅰ）得：f（x）在（0，

a

）递减，在（

a

，+∞）递增，
g（x）在（0，+∞）上的草图，如图示：

因g（

a

）=2a

a

，
∴g（2

a

）=2a

a

，
三次方程x³-3ax=2a

a

的较大实根为：x=2

a

．
故当

a

≥1，即a≥1时，g（x）_max=|f（1）|=3a-1，
当

a

＜1≤2

a

，即

1

4

≤a＜1时，
g（x）_max=|f（

a

）|=2a

a

，
当2

a

＜1，即0＜a＜

1

4

时，
g（x）_max=|f（1）|=1-3a，
综上所述：g（x）_max=

1-3a       (a≤ 1 4 ) 2a a        ( 1 4 ＜a≤1) 3a-1        (a＞1)

．

点评：本题考察了函数的单调性的判断，求函数的最值，渗透了求导及数形结合，是一道中档题．