Question

如图，三棱柱ABC-A₁B₁C₁的所有棱长都是2，又AA₁⊥平面ABC，D、E分别是AC、CC₁的中点．
（Ⅰ）求证：AE⊥平面A₁BD；
（Ⅱ）求几何体BCDB₁C₁A₁的体积．

Answer 1

考点：直线与平面垂直的判定,棱柱、棱锥、棱台的体积

专题：空间位置关系与距离

分析：（I）首先，根据AA₁⊥平面ABC，得到BD⊥A₁A，然后，得到AE⊥BD，然后，借助于∴△A₁AD≌△ECD，得到A₁D⊥AE，从而得到命题成立；
（II）利用V_{三棱柱ABC-A1B1C1}-V_{三棱锥B-A1AD}，即可求几何体BCDB₁C₁A₁的体积．

解答： 解：（I）证明：∵BA=BC，D为AC中点，
∴BD⊥AC．
∵AA₁⊥平面ABC，BD在平面ABC内，
∴BD⊥A₁A，又AC∩AA₁=A
∴BD⊥平面ACC₁A₁，又AE?平面ACC₁A₁，
∴AE⊥BD．
在正方形ACC₁A₁中，
∵D、E分别是AC、CC₁的中点，
∴△A₁AD≌△ECD．
∴A₁D⊥AE，
又AE⊥BD，
∴AE⊥平面A₁BD．
（II）根据（I），
设几何体BCDB₁C₁A₁的体积为V，三棱柱ABC-A₁B₁C₁的体积为V₁，
三棱锥B-A₁AD的体积为V₂
则 V=V₁-V₂
=

4 3

4

×2-

1

3

×

1

2

×1×2×

3

=2

3

-

3

3

=

5 3

3

，
∴几何体BCDB₁C₁A₁的体积为

5 3

3

．

点评：本题考查线面平行，考查三棱锥体积的计算，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．