题目内容
已知点M（
，
）是椭圆C：
+
=1（a＞b＞0）上一点，过点M作x轴的垂线，垂足恰好为椭圆C的一个焦点．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）过点E（4，0）的直线l与圆x2+y2=4相切，且与椭圆C相交于A，B两点，求|AB|．
| 5 |
| 4 |
| 3 |
| x2 |
| a2 |
| y2 |
| b2 |
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）过点E（4，0）的直线l与圆x2+y2=4相切，且与椭圆C相交于A，B两点，求|AB|．
考点：椭圆的简单性质
专题：圆锥曲线的定义、性质与方程
分析：（Ⅰ）由已知得c=
，将点M（
，
）代入方程
+
=1；及a，b，c三者关系式得方程组，求出a，b得到方程．
（Ⅱ）设直线l的方程为y=k（x-4）即kx-y-4k=0，由已知得
=2求出直线方程，将直线方程与椭圆方程联立求出交点坐标，由|AB|=
|x1-x2|求得．
| 5 |
| 5 |
| 4 |
| 3 |
| x2 |
| a2 |
| y2 |
| b2 |
（Ⅱ）设直线l的方程为y=k（x-4）即kx-y-4k=0，由已知得
| |4k| | ||
|
| 1+k2 |
解答：
解：（Ⅰ）由已知得c=
，
解得
∴椭圆C的方程为
+
=1
（Ⅱ）以题意可知直线的斜率存在，设直线l的方程为y=k（x-4）即kx-y-4k=0，
由
=2
得k2=
即k=±
设A（x1，y1），B（x2，y2），
由
消去y得7x2-24x+12=0
解得x1=
，x2=
又|AB|=
|x1-x2|=
×
∴|AB|=
| 5 |
|
解得
|
∴椭圆C的方程为
| x2 |
| 9 |
| y2 |
| 4 |
（Ⅱ）以题意可知直线的斜率存在，设直线l的方程为y=k（x-4）即kx-y-4k=0，
由
| |4k| | ||
|
得k2=
| 1 |
| 3 |
| ||
| 3 |
设A（x1，y1），B（x2，y2），
由
|
解得x1=
12-2
| ||
| 7 |
12+2
| ||
| 7 |
又|AB|=
| 1+k2 |
1+
|
4
| ||
| 7 |
∴|AB|=
8
| ||
| 7 |
点评：本题考查椭圆中三个参数a，b，c的关系，直线与圆相切的充要条件及直线与椭圆相交的弦长的求法，属于中档题．
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