Question

PM2.5是指大气中直径小于或等于微米的颗粒物，也称为可入肺颗粒物，我国PM2.5标准采用世卫组织设定的最宽限值，即PM2.5日均值在35微克/立方米以下空气质量为一级；在35微克/立方米至75微克/立方米之间空气质量为二级；在75微克/立方米以上空气质量为超标，北方城市环保局从该市市区2013年全年每天的PM2.5监测数据中随机的抽取20天的数据作为样本，发现空气质量为一级的有4天，为二级的有10天，超标的有6天．
（1）从这20天的日均PM2.5监测数据中，随机抽出三天数据，求恰有一天空气质量达到一级的概率；
（2）从这20天的数据中任取三天数据，记ξ表示抽到PM2.5监测数据超标的天数，求ξ的分布列和数学期望；
（3）根据这20天的PM2.5日均值来估计一年的空气质量情况，则一年（按365天计算）中平均有多少天的空气质量达到一级或二级．

Answer 1

考点：离散型随机变量的期望与方差,古典概型及其概率计算公式

专题：应用题,概率与统计

分析：（1）这20天的日均PM2.5监测数据中，随机抽出三天数据，恰有一天空气质量达到一级，共有

C

3 20

种情况，恰有一天空气质量达到一级，共有

C

1 4

C

1 16

种情况，由此可求概率；
（2）ξ的可能值为0，1，2，3，故可得其分布列和数学期望；
（3）一年中每天空气质量达到一级或二级的概率为

14

20

=0.7，一年中空气质量达到一级或二级的天数η～B（360，0.7），求出期望，即可得到结论．

解答： 解：（1）由题意，空气质量为一级的有4天，为二级的有10天，超标的有6天．
记“这20天的日均PM2.5监测数据中，随机抽出三天数据，恰有一天空气质量达到一级”为事件A
则P(A)=

C 1 4 C 2 16

C 3 20

=

8

19

；
（2）ξ的可能值为0，1，2，3，
P（ξ=0）=

C 0 6 C 3 14

C 3 20

=

91

285

，P（ξ=1）=

C 1 6 C 2 14

C 3 20

=

91

190

，P（ξ=2）=

C 2 6 C 1 14

C 3 20

=

7

38

，P（ξ=3）=

C 3 6

C 3 20

=

1

57

，
所以ξ的分布列为

ξ	0	1	2	3
P	91 285	91 190	7 38	1 57

Eξ=

91

285

×0+

91

190

×1+

7

38

×2+

1

57

×3=

171

190

；
（3）20天的空气质量达到一级或二级的频率为

14

20

=0.7
所以365×0.7=255.5，
所以估计一年中有255.5天的空气质量达到一级或二级．

点评：本题考查等可能事件概率的求法，考查离散型随机变量的分布列，考查利用数学知识解决实际问题，属于中档题．