Question

已知f（x）=x²-ax+0.5a（a＞0）在区间[0，1]上的最小值为g（a），求g（a）的最大值．

Answer 1

考点：二次函数的性质

专题：函数的性质及应用

分析：将a分区间进行讨论，表示出g（a）的表达式，中由表达式和a的范围求出g（a）的最大值．

解答： 解：∵f（x）=x²-ax+0.5a，
∴对称轴x=-

-a

2

=

a

2

，
①当0＜

a

2

≤1，即0＜a≤2时，
g（a）=f（

a

2

）=-

a2

4

+

a

2

，
②当

a

2

＞1，即a＞2时，x∈[0，1]
f′（x）=2（x-a）＜0，
∴f（x）在[0，1]上单调递减，
∴g（a）=f（1）=1-0.5a，
∴g（a）=

- a2 4 + a 2          (0＜a≤2) 1-0.5a            (a＞2)

，
∴当a＞2时，g（a）＜0，
当0＜a≤2时，g（a）=-

1

4

（a-1）²+

1

4

，
当a=1时，g（a）_最大=g（1）=

1

4

．
∴g（a）的最大值是：

1

4

．

点评：本题考察了二次函数的性质问题，渗透了分类讨论思想，是一道中档题．