Question

在等差数列{an}和正项等比数列{bn}中，a₁=b₁=1，b₂•b₄=16，{a_n}的前8项和S₈=92．
（Ⅰ）求{a_n}和{b_n}的通项公式；
（Ⅱ）令T_n=

a1

bn+1

+

a2

bn+1

+…+

an

b2n

•n∈N^*，求T_n．

Answer 1

考点：数列的求和

专题：等差数列与等比数列

分析：（Ⅰ）设{an}解得的公差为d，{bn}的公比为q，由已知列出d，q的方程组，求出d，q代入通项公式，求出{a_n}和{b_n}的通项公式；
（Ⅱ）利用错位相减的求和方法求出T_n=

a1

bn+1

+

a2

bn+1

+…+

an

b2n

的值．

解答： 解：（Ⅰ）设{an}解得的公差为d，{bn}的公比为q，q＞0
依题意
S8=8+

8×7

2

×d=92，b₂•b₄=b32=q⁴=16
解得d=3，q=2．
∴a_n=1+（n-1）×3=3n-2，
bn=1×2n-1=2n-1
（Ⅱ）Tn=

1

2n

+

4

2n+1

+

7

2n+2

+…+

3n-2

22n-1

①

1

2

Tn=

1

2n+1

+

4

2n+2

+

7

2n+3

+…+

3n-5

22n-1

+

3n-2

22n

②
①-②得

1

2

Tn=

1

2n

+3(

1

2n+1

+

1

2n+2

+

1

2n+3

+…+

1

22n-1

)-

3n-2

22n

=

1

2n

+3×

1 2n+1 (1- 1 2n-1 )

1- 1 2

-

3n-2

22n

=

4

2n

-

3n+4

22n

∴Tn═

8

2n

-

6n+8

22n

点评：本题考查等差数列、等比数列通项的求法；考查数列求和的方法；错位相减及裂项相消是两种常考的求和方法．