题目内容

如图，过抛物线y2=2px（p＞0）的焦点F作倾斜角为60°的直线l，交抛物线于A、B两点，且|FA|=3，则抛物线的方程是
 
．
考点：抛物线的简单性质
专题：计算题,圆锥曲线的定义、性质与方程
分析：先根据抛物线定义以及有一个角是60°的直角三角形的性质，证明|AF|=3|BF|，再根据|AF|=3，求出|AB|长，设出直线AB方程，与抛物线方程联立，利用抛物线中焦点弦公式，把|AB|长用含p的式子表示，由|AB|=4，解出p值．
解答： 解：过点A，B向准线x=-
p
2
作垂线，垂足分别为C，D，过B点向AC作垂线，垂足为E
∵A，B两点在抛物线y=2px上，∴|AC|=|AF|，|BD|=|BF|
∵BE⊥AC，∴|AE|=|AF|-|BF|，
∵直线AB的倾斜角为60°，∴在Rt△ABE中，2|AE|=|AB|=|AF|+|BF|
即2（|AF|-|BF）=|AF|+|BF|，∴|AF|=3|BF|
∵|AF|=3，∴|BF|=1，∴|AB|=|AF|+|BF|=4
设直线AB方程为y=
3
（x-
p
2
），代入y2=2px，得3x2-5px+
p2
4
=0，
∴x1+x2=
5p
3

∴|AB|=x1+x2+p=4
∴P=
3
2
，∴抛物线方程为y2=3x
故答案为：y2=3x．
点评：本题主要考察了应用抛物线定义求弦长，做题时要善于转化．
练习册系列答案
相关题目
已知向量
a
=（-1，3），
b
=（-3，x），若
a
∥
b
，则x=
 
；若
a
⊥
b
，则x=
 
．
求M（4，
π
3
，0）N（4，
2π
3
，3）两点中柱坐标系中距离．
已知菱形ABCD的边长为2，∠BAD=120°，点E，F分别是边BC，CD上的中点．
（Ⅰ）求
AE
•
AF
的值
（Ⅱ）以
AE
、
AF
为基底，表示
AB
．
设函数f（x）=xcosx在（0，+∞）内的全部极值点按从小到大的顺序排列为x1，x2，…则对任意正整数n必有（　　）
A、-
π
2
＜xn+1-xn＜0
B、
π
2
＜xn+1-xn＜π
C、0＜xn+1-xn＜
π
2
D、π＜xn+1＜xn＜
3π
2
已知抛物线C：x2=4y，过焦点F的直线l与抛物线交于A，B两点（A在第一象限）．
（Ⅰ）当S△OFA=2S△OFB时，求直线l的方程；
（Ⅱ）过点A（2t，t2）作抛物线C的切线l1与圆x2+（y+1）2=1交于不同的两点M，N，设F到l1的距离为d，求
|MN|
d
的取值范围．
某高校经济管理学院在2014年11月11日“双11购物节”期间，对[25，55]岁的人群随机抽取了1000人进行调查，得到各年龄段人数频率分布直方图．同时对这1000人是否参加“商品抢购”进行统计，结果如表：
组数分组抢购商品的人数占本组的频率
第一组[25，30]1200.6
第二组（30，35]195p
第三组（35，40]1000.5
第四组（40，45]a0.4
第五组（45，50]300.3
第六组（50，55]150.3

（1）求统计表中a和p的值；
（2）从年龄落在（40，50]内的参加“抢购商品”的人群中，采用分层抽样法抽取6人参加满意度调查，
①设从年龄落在（40，45]和（45，50]中抽取的人数分别为m、n，求m和n的值；
②在抽取的6人中，有2人感到“满意”，设感到“满意”的2人中年龄在（40，45]内的人数为X，求事件“X=1”发生的概率．
已知向量
a
=(-3，4)，则下列能使
a
=λ
e1
+μ
e2
(λ、μ∈R)成立的一组向量
e1
，
e2
是（　　）
A、
e1
=(0，0)，
e2
=(-1，2)
B、
e1
=(-1，3)，
e2
=(2，-6)
C、
e1
=(-1，2)，
e2
=(3，-1)
D、
e1
=(-
1
2
，1)，
e2
=(1，-2)
已知各项全不为零的数列{an}的前n项和为Sn，且Sn=
1
2
anan+1（n∈N+），其中a1=1．
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）试求所有的正整数m，使得
am+1am+2
am
为数列{Sn}中的项．

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