Question

已知各项全不为零的数列{a_n}的前n项和为S_n，且S_n=

1

2

a_na_n+1（n∈N⁺），其中a₁=1．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）试求所有的正整数m，使得

am+1am+2

am

为数列{S_n}中的项．

Answer 1

考点：数列递推式

专题：点列、递归数列与数学归纳法

分析：（1）根据数列的递推关系即可求数列{a_n}的通项公式；
（2）求出数列的通项公式，判断

am+1am+2

am

和{S_n}的关系，即可．

解答： 解：（1）∵S_n=

1

2

a_na_n+1（n∈N⁺），
∴当n=1时，a₁=

1

2

a₁a₂（n∈N⁺），
∴a₂=2，
当n≥2时，S_n-S_n-1=

1

2

a_na_n+1-

1

2

a_n-1a_n=a_n，
∵a_n≠0，
∴a_n+1-a_n-1=2，n≥2，
令n=2m-1，m∈N^•，
得a_2m-1=1+2（m-1）=2m-1，
令n=2m，
得a_2m=2+2（m-1）=2m，
故a_n=n
（2）∵a_n=n，
∴S_n=

n(n+1)

2

，
则

am+1am+2

am

=

(m+1)(m+2)

m

=

m2+3m+2

m

=m+

2

m

+3，
则

2

m

必为正整数，
∴m=1，2．
当m=1时，m+

2

m

+3=6，
由S_n=

n(n+1)

2

=6，得n=3，
即

am+1am+2

am

为数列{S_n}中的第3项，
故所求m=1，2．

点评：本题主要考查数列的通项公式的求解，根据数列的递推关系是解决本题的关键．