Question

函数f（x）=2sin（ωx+φ）（ω＞0，0＜φ＜

π

2

）的部分图象如图所示，该图象与y轴交于点F（0，1），与x轴交于B，C两点，M为图象的最高点，且△MBC的面积为

π

2

．
（Ⅰ）求函数f（x）的解析式及单调增区间；
（Ⅱ）若f（a-

π

12

）=

2

3

，求cos²（a-

π

4

）的值．

Answer 1

考点：二倍角的余弦,正弦函数的单调性,由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式

专题：三角函数的图像与性质

分析：（Ⅰ）由△MBC的面积为

π

2

可得周期T=π，ω=2，由f（0）=2sinφ=1，可解得φ的值，从而解得f（x）=2sin（2x+

π

6

）．由2kπ-

π

2

≤2x+

π

6

≤2kπ+

π

2

可得kπ-

π

3

≤x≤kπ+

π

6

（k∈Z）即可确定单调增区间；
（Ⅱ）由f（α-

π

12

）=

2

3

，可求得sin2α=

1

3

，故可求得cos²（α-

π

4

）的值．

解答： 解：（Ⅰ）∵S_△ABC=

1

2

×2×|BC|=|BC|=

π

2

；
∴周期T=π，又∵T=

2π

ω

，∴ω=2
由f（0）=2sinφ=1，得sinφ=

1

2

，
∵0＜φ＜

π

2

，∴φ=

π

6

．
∴f（x）=2sin（2x+

π

6

）．
由2kπ-

π

2

≤2x+

π

6

≤2kπ+

π

2

可得kπ-

π

3

≤x≤kπ+

π

6

（k∈Z），
所以函数f（x）的调增区间为[kπ-

π

3

，kπ+

π

6

]（k∈Z）；
（Ⅱ）由f（α-

π

12

）=2sin2α=

2

3

，得sin2α=

1

3

，
cos²（α-

π

4

）=

1+cos(2α- π 2 )

2

=

1+sin2α

2

=

2

3

．

点评：本题主要考察了由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式，正弦函数的单调性，属于中档题．