Question

已知直线l过圆（x+4）²+y²=16的圆心C且垂直与x轴，点F的坐标是（-6，0），点G是圆上任意一点．
（1）若直线FG与直线l相交 于点T，且G为线段FT的中点，求直线FG被圆C所截得的弦长；
（2）过点F人作两条互相垂直的弦，设其弦长为m．n，求m+n的最大值；
（3）在平面上是否存在定点P，使得对圆C上任意的点G，都有|GP|=2|GF|？若存在，求出点P的坐标；若存在，请说明理由．

Answer 1

考点：直线与圆相交的性质

专题：不等式的解法及应用,直线与圆

分析：（1）根据题意，求出直线FG的方程，圆心C到直线FG的距离d，利用勾股定理求出FG被圆C所截得的弦长；
（2）设两条弦的弦心距为d₁，d₂，则d12+d22=4，利用基本不等式求出m+n的最大值；
（3）假设存在定点P（s，t）满足题意，由|GP|=2|GF|点P的坐标，即可得出结论．

解答： 解：（1）∵圆心C（-4，0），直线l：x=-4，F（-6，0），
根据题意设G（-5，y₀），代入（x+4）²+y²=16，
解得y₀=±

15

，∴k_FG=±

15

；
∴直线FG的方程为y=±

15

（x+6），
∴点C（-4，0）到直线FG的距离为d=

15

2

，
直线FG被圆C所截得的弦长为2

16-( 15 2 )2

=7；
（2）设两条弦的弦心距分别为d₁，d₂，则d12+d22=4；
∴m+n=2（

16-d12

+

16-d22

）≤2×2

16-d12+16-d22 2

=4

14

，
当且仅当d₁=d₂=

2

时取“=”，∴m+n的最大值是4

14

；
（3）假设存在定点P（s，t），设G（x₀，y₀），
则

(x0-s)2+(y0-t)2

=2

(x0+6)2+y02

，
整理得3（x02+y02）+（48+2s）x₀+2ty₀+144-s²-t²=0；…①
又点G在圆C上，∴(x0+4)2+y02=16，即x02+y02=-8x₀；…②
把②代入①，整理得（2s+24）x₀+2ty₀+144-s²-t²=0，
此时对圆上任意一点G（x₀，y₀）都成立，
∴

2s+24=0 2t=0 144-s2-t2=0

，解得

s=-12 t=0

；
∴存在定点P（-12，0），使得对圆C上的任一点G都有|GP|=2|GF|．

点评：本题考查了直线与圆的应用问题，也考查了基本不等式的应用问题，求直线被圆截得弦长的问题，是难题．