Question

已知数列{a_n}满足：a₁=a₂=1，且a_n+2=

a 2 n+1 +2

an

，问是否存在常数p，q，使得对一切n∈N^*都有a_n+2=pa_n+1+qa_n，并说明理由．

Answer 1

考点：数列递推式

专题：等差数列与等比数列

分析：由已知得an+2an=an+12+2，pa_na_n+1+qan2=an+12+2，由此能推导出存在p=4，q=-1，使得a_n+2=pa_n+1+qa_n．

解答： 解：∵a_n+2=

a 2 n+1 +2

an

，
∴an+2an=an+12+2，
∵若存在常数p，q，使得对一切n∈N^*都有a_n+2=pa_n+1+qa_n，
∴pa_na_n+1+qan2=an+12+2，①
又a₁=a₂=1，令n=1，代入①，得：p+q=3，
a₃=pa₂+qa₁=p+q=3，
令n=2，代入①得：3p+q=9+2=11，
联立②③得：p=4，q=-1，
∴存在p=4，q=-1，使得a_n+2=pa_n+1+qa_n．

点评：本题考查满足条件的常数的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意数列的递推公式的合理运用．