Question

已知双曲线C：

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞0，b＞0）的离心率为

2 3

3

，左、右焦点分别为F₁、F₂，一条准线的方程为x=

3

2

．
（1）求双曲线C的方程；
（2）若双曲线C上的一点P满足

PF1

•

PF2

=1，求|

PF1

|•|

PF2

|的值．

Answer 1

考点：轨迹方程,平面向量数量积的运算

专题：计算题,平面向量及应用,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：（1）运用双曲线的准线方程和离心率公式，得到方程组，解出即可得到双曲线方程；
（2）设|

PF1

|=r1， |

PF2

|=r2，  ∠F1PF2=θ．运用向量的数量积的定义，结合双曲线的定义和余弦定理，化简即可得到．

解答： 解：（1）由条件有

c a = 2 3 3 a2 c = 3 2

，∴

a= 3 c=2

∴a²=3，b²=c²-a²=1．
故双曲线C的方程为：

x2

3

-y2=1；
（2）设|

PF1

|=r1， |

PF2

|=r2，  ∠F1PF2=θ．
∵

PF1

•

PF2

=1∴r₁•r₂•cosθ=1，
又|r1-r2|=2

3

∴

r

2 1

+

r

2 2

-2r1r2=12，即

r

2 1

+

r

2 2

=2r1r2+12．
又由余弦定理有：4c2=

r

2 1

+

r

2 2

-2r1r2cosθ．
即16=2r₁r₂+12-2，∴r₁r₂=3．
故|

PF1

|•|

PF2

|=3．

点评：本题考查双曲线的定义、方程和性质，考查平面向量的数量积的定义和余弦定理及运用，考查运算能力，属于中档题．