Question

若a≠1，求函数f（x）=x-

1

2

ax²-ln（x+1）的极值点．

Answer 1

考点：利用导数研究函数的极值

专题：导数的综合应用

分析：利用导数判定函数的单调性，求函数的极值即可，注意对a的讨论．

解答： 解：f′（x）=1-ax-

1

x+1

=

-ax2+(1-a)x

x+1

（x∈（-1，+∞）…（2分）
（1）当a=0时，f′（x）=

x

x+1

∴f（x）在（-1，0）上递减，（0，+∞）上递增
∴f（x）的极小值点为0，无极大值点           …（4分）
（2）当a＜0时，f′（x）=

-ax(x- 1-a a )

x+1

∵

1-a

a

=

1

a

-1＜-1，
∴f（x）在（-1，0）上递减，（0，+∞）上递增，
∴f（x）的极小值点为0，无极大值点．…（6分）
（3）当0＜a＜1时，f′（x）=

-ax(x- 1-a a )

x+1

∵

1-a

a

＞0，
∴f（x）在（-1，0）上递减，（0，

1-a

a

）上递增，（

1-a

a

，+∞）上递减，
∴f（x）的极小值点为0，极大值点为

1-a

a

，…（8分）
（4）当a＞1时，f′（x）=

-ax(x- 1-a a )

x+1

∵

1-a

a

=

1

a

-1∈（-1，0），
∴f（x）在（-1，

1-a

a

）上递减，（

1-a

a

，+∞）上递增，（0，+∞）上递减，
∴f（x）的极小值点为

1-a

a

，极大值点为0．…（10分）
综上：当a≤0时，f（x）的极小值点为0，无极大值点；
当0＜a＜1时，f（x）的极小值点为0，极大值点为

1-a

a

；
当a＞1时，f（x）的极小值点为

1-a

a

，极大值点为0．…（12分）

点评：本题主要考查利用导数研究函数的单调性及极值等知识，考查学生分类讨论思想的运用能力及运算求解能力，属于中档题．