Question

已知f（x）=sin（2x+

π

6

）+

3

2

，x∈R．
（1）求函数f（x）的最小正周期和单调增区间；
（2）求函数f（x）的对称轴方程及对称中心；
（3）当x∈（0，

π

2

）时，函数f（x）的值域．

Answer 1

考点：正弦函数的图象

专题：三角函数的图像与性质

分析：（1）由条件利用正弦函数的最小正周期、单调性求得函数f（x）的最小正周期和单调增区间．
（2）根据正弦函数的图象的对称性求得函数f（x）的对称轴方程及对称中心．
（3）由条件利用正弦函数的定义域和值域，求得函数f（x）的值域．

解答： 解：（1）f（x）=sin（2x+

π

6

）+

3

2

的最小正周期为

2π

2

=π，
令2kπ-

π

2

≤2x+

π

6

≤2kπ+

π

2

，k∈z，求得kπ-

π

3

≤x≤kπ+

π

6

，k∈z，故函数的增区间为[kπ-

π

3

，kπ+

π

6

]，k∈z．
令2kπ+

π

2

≤2x+

π

6

≤2kπ+

3π

2

，k∈z，求得kπ+

π

6

≤x≤kπ++

2π

3

，k∈z，故函数的增区间为[kπ+

π

6

，kπ+

2π

3

]，k∈z．
（2）令2x+

π

6

=kπ+

π

2

，k∈z，求得x=

kπ

2

+

π

6

，故函数的图象的对称轴方程为x=

kπ

2

+

π

6

，k∈z．
令2x+

π

6

=kπ，k∈z，求得x=

kπ

2

-

π

12

，故函数的图象的对称中心为（

kπ

2

-

π

12

，0）．
（3）当x∈（0，

π

2

）时，2x+

π

6

∈（

π

6

，

7π

6

）时，故当2x+

π

6

=

π

2

时，函数取得最大值为1+

3

2

=

5

2

，当2x+

π

6

=

7π

6

时，函数取得最小值为-

1

2

+

3

2

=1．

点评：本题主要考查正弦函数的最小正周期、单调性、以及图象的对称性，正弦函数的定义域和值域，属于基础题．