Question

f（x）是定义在[-2π，2π]上的偶函数，当x∈[0，π]时，f（x）=2cosx，当x∈（π，2π]时，f（x）=

4

π

x-2．
（1）求f（-2π），f（-

π

6

）的值；
（2）写出函数y=f（x）的表达式，作出图象，并写出函数的单调区间．

Answer 1

考点：余弦函数的图象

专题：三角函数的图像与性质

分析：（1）根据函数的奇偶性可得：f（-2π）=f（2π），f（-

π

6

）=f（

π

6

）进而结合题中的条件可得答案．
（2）设x∈[-2π，-π），则-x∈（π，2π]，由题得：由条件利用函数为偶函数求得函数的解析式；同理可得：当x∈[-π，0]时，f（x）的解析式，即可得到答案．

解答： 解：（1）由于f（x）是定义在[-2π，2π]上的偶函数，当x∈[0，π]时，f（x）=2cosx，当x∈（π，2π]时，f（x）=

4

π

x-2．
又因为y=f（x）是偶函数
所以f（-2π）=f（2π）=

4

π

•2π-2=6，f（-

π

6

）=f（

π

6

）=2cos

π

6

=

3

．
（2）设x∈[-2π，-π），则-x∈（π，2π]，
因为当x∈（π，2π]时，f（x）=

4

π

x-2，所以y=f（-x）=-

4

π

x-2．
又因为f（x）是定义在[-2π，2π]上的偶函数，
所以当x∈[-2π，-π）时，f（x）=-

4

π

x-2；
同理可得：当x∈[-π，0]时，f（x）=2cosx，
所以f（x）=

- 4 π x-2，x∈[-2π，-π) 2cosx，x∈[-π，π] π 4 x-2，x∈(π，2π]

其图象在[-2π，2π]上的图象如图所示，
故函数的递增区间为[-π，0]，（π，2π]；递减区间为[-2π，-π），[0，π]．

点评：解决此类问题的关键是熟练掌握函数的有关性质，如奇偶性、单调性、函数值、图象等性质，以及函数性质的综合应用与直线的点斜式方程，此题综合性较强属于中档题．