Question

已知正数x，y，z满足2x+2y+z=1，求3xy+yz+zx的最大值．

Answer 1

考点：基本不等式

专题：不等式的解法及应用

分析：正数x，y，z满足2x+2y+z=1，可得z=1-2（x+y）＞0，解得0＜x+y＜

1

2

.3xy+yz+zx=3xy+[1-2（x+y）]（x+y）≤3×

(x+y)2

4

-2（x+y）²+（x+y）=-

5

4

[(x+y)-

2

5

]2+

1

5

，再利用二次函数的单调性即可得出．

解答： 解：∵正数x，y，z满足2x+2y+z=1，可得z=1-2（x+y）＞0，解得0＜x+y＜

1

2

．
∴3xy+yz+zx=3xy+[1-2（x+y）]（x+y）
≤3×

(x+y)2

4

-2（x+y）²+（x+y）=-

5

4

(x+y)2+(x+y)=-

5

4

[(x+y)-

2

5

]2+

1

5

，
当x+y=

2

5

，x=y=

1

5

时，取等号．
∴3xy+yz+zx的最大值为

1

5

．

点评：本题考查了基本不等式的性质、二次函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于难题．