Question

已知a、b是正整数，函数f（x）=ax+

2

x+b

（x≠-b）的图象经过点（1，3）．
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）函数y=f（x）的图象是否是中心对称图形？

Answer 1

考点：函数解析式的求解及常用方法,函数的图象

专题：函数的性质及应用

分析：（1）运用解析式直接求解．
（2）把函数解析式变形为2t+

2

t

类型判断．

解答： 解：（1）∵函数f（x）=ax+

2

x+b

（x≠-b）的图象经过点（1，3）．
∴3=a+

2

1+b

，
∵a、b是正整数，
3-a＞0，0＜a＜3
∴当a=1时b=0，不符合题意，
当a=2时b=1符合题意，
所以f（x）=2x+

2

x+1

；
（2）f（x）=2x+

2

x+1

=2（x+1）+

2

x+1

-2，
g（x）=2x+

2

x

是奇函数，图象关于原点对称，
g（x）的图象向左平移1个单位，再向下平移2个单位，得到f（x）的图象．
所以f（x）的图象关于点（-1，-2）中心对称．

点评：本题考察了函数的定义，函数图象的平移问题，难度较大．