Question

14．一个正四棱锥的所有棱长均为2，其俯视图如图所示，则该正四棱锥的正视图的面积为$\sqrt{2}$，体积为$\frac{4\sqrt{2}}{3}$．

Answer 1

分析 根据正四棱锥的俯视图，可得到正四棱锥的直观图，然后根据正视图的定义得到正四棱锥的正视图，然后求面积体积即可．

解答 解：由正四棱锥的俯视图，可得到正四棱锥的直观图如图：
则该正四棱锥的正视图为三角形PEF，（E，F分别为AD．BC的中点）
∵正四棱锥的所有棱长均为2，
∴PB=PC=2，EF=AB=2，PF=$\sqrt{3}$，
∴PO=$\sqrt{P{F}^{2}-O{F}^{2}}$=$\sqrt{3-1}$=$\sqrt{2}$
∴该正四棱锥的正视图的面积为$\frac{1}{2}$×2×$\sqrt{2}$=$\sqrt{2}$；
正四棱锥的体积为$\frac{1}{3}$×2×2×$\sqrt{2}$=$\frac{4\sqrt{2}}{3}$．
故答案为：$\sqrt{2}$，$\frac{4\sqrt{2}}{3}$．

点评 本题主要考查三视图的应用，利用俯视图得到正四棱锥的直观图是解决本题的关键，比较基础．