Question

3．已知y=f（x）是定义在R上的偶函数，当x≥0时，f（x）=x²-2x
（1）求f（x）的解析式；   
（2）若f（a）=$-\frac{3}{4}$，求a的值所组成的集合．

Answer 1

分析 （1）当x＜0时，-x＞0，由已知中当x≥0时，f（x）=x²-2x，及函数f（x）是定义在R上的偶函数，可求出当x＜0时函数的解析式，进而得到答案．
（2）利用f（a）=$-\frac{3}{4}$，列出方程求解即可．

解答 解：（1）由x≥0时，f（x）=x²-2x，
当x＜0时，-x＞0，
∴f（-x）=x²+2x
又函数f（x）为偶函数，
∴f（x）=x²+2x-------------3’
故函数的解析式为$f（x）=\left\{\begin{array}{l}{x}^{2}-2x，x≥0\\{x}^{2}+2x，x＜0\end{array}\right.$--------4’
（2）由函数的解析式为$f（x）=\left\{\begin{array}{l}{x}^{2}-2x，x≥0\\{x}^{2}+2x，x＜0\end{array}\right.$，可知，
当a≥0时，a²-2a=$-\frac{3}{4}$，解得a=$\frac{1}{2}$或$\frac{3}{2}$；
当a＜0时，a²+2a=$-\frac{3}{4}$，解得a=-$\frac{1}{2}$或-$\frac{3}{2}$；
a的值所组成的集合：{$-\frac{1}{2}$，$\frac{1}{2}$，$-\frac{3}{2}$，$\frac{3}{2}$}．

点评 本题考查的知识点是函数解析式的求法，函数的零点与方程根的关系，难度中档．