Question

函数f（x）和g（x）的定义域为R，且f（x）为偶函数，g（x）为奇函数，f（x）+g（x）=

1

x2-x+1

，则F（x）=

f(x)

g(x)

在定义域内的增区间为（　　）

• A、（-∞，-1）
• B、（1，+∞）
• C、（-∞，-1）和（1，+∞）
• D、（-∞，+∞）

Answer 1

考点：函数单调性的判断与证明

专题：函数的性质及应用

分析：利用f（x）是偶函数，g（x）是奇函数，列出方程组求f（x）和g（x）的解析式，然后代入F（x）=

f(x)

g(x)

，化简，求定义域，求增区间．

解答： 解：∵f（x）是偶函数，g（x）是奇函数，
∴f（-x）=f（x），g（-x）=-g（x）
又∵f（x）+g（x）=

1

x2-x+1

 ①，
∴f（-x）+g（-x）=f（x）-g（x）=

1

x2+x+1

 ②，
①②联立可解得f（x）=

x2+1

(x2-x+1)(x2+x+1)

，g（x）=

2x

(x2-x+1)(x2+x+1)

，
则F（x）=

f(x)

g(x)

=

x2+1

2x

，函数的定义域为{x|x≠0}，
∵F（x）=

x2+1

2x

=

1

2

（x+

1

x

），
∴F′（x）=

1

2

（1-

1

x2

），
令F′（x）=

1

2

（1-

1

x2

）＞0，解得x＜-1或x＞1，
则F（x）=

f(x)

g(x)

在定义域内的增区间为（-∞，-1）和（1，+∞）．

点评：本题考查函数的奇偶性，单调性以及函数的定义域，考查计算能力，属于中档题目．