Question

已知在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是直角梯形，平面PAB⊥平面ABCD，R、S分别是棱AB、PC的中点，AD∥BC，AD⊥AB，PD⊥CD，PD⊥PB，AB=BC=2AD=2．
（Ⅰ）求证：①平面PAD⊥平面PBC；②RS∥平面PAD；
（Ⅱ）若点Q在线段AB上，且CD⊥平面PDQ，求二面角C-PQ-D的余弦值．

Answer 1

考点：二面角的平面角及求法,直线与平面平行的判定,平面与平面垂直的判定

专题：空间位置关系与距离,空间角

分析：（Ⅰ）①由已知得AD⊥平面APB，从而PB⊥AD，由此能证明平面PAD⊥平面PBC．
②取PB中点M，连结RM，SM，由已知推导出平面PAD∥平面SMR，由此能证明RS∥平面PAD．
（Ⅱ）由已知得AP=1，BP=

3

，PQ=

3

2

，AQ=

1

2

，BQ=

3

2

，以Q为原点，QP为x轴，QB为y轴，建立如图所示的空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角C-PQ-D的余弦值．

解答： （Ⅰ）①证明：∵在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是直角梯形，
平面PAB⊥平面ABCD，AD⊥AB，
∴AD⊥平面APB，
又PB?平面APB，
∴PB⊥AD，
∵PD⊥PB，AD∩PD=D，
∴PB⊥平面PAD，
∵PB?平面PBC，
∴平面PAD⊥平面PBC．
②证明：取PB中点M，连结RM，SM，
∵R、S分别是棱AB、PC的中点，AD∥BC，
∴SM∥CB∥AD，RM∥AP，
又AD∩AP=A，∴平面PAD∥平面SMR，
∵RS?平面SMR，∴RS∥平面PAD．

（Ⅱ）解：由已知得

AP2+1=PD2 BP2+4=PC2 AP2+BP2=4 5+PD2=PC2

，
解得AP=1，BP=

3

，PQ=

3

2

，AQ=

1

2

，BQ=

3

2

，
以Q为原点，QP为x轴，QB为y轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
则Q（0，0，0），P（

3

2

，0，0），D（0，-

1

2

，1），C（0，

3

2

，2），
∴

QD

=(0，-

1

2

，1)，

QP

=(

3

2

，0，0)，

QC

=（0，

3

2

，2），
设平面PDQ的法向量

n

=(x，y，z)，
则

n • QD =- 1 2 y+z=0 n • QP = 3 2 x=0

，取y=2，得

n

=(0，2，1)，
设平面PCQ的法向量

m

=(a，b，c)，
则

m • QC = 3 2 b+2c=0 m • QP = 3 2 a=0

，取b=4，得

m

=（0，4，-3），
设二面角C-PQ-D的平面角为θ，
∴cosθ=|cos＜

m

，

n

＞|=|

8-3

5 ×5

|=

5

5

，
∴二面角C-PQ-D的余弦值为

5

5

．

点评：本题考查平面与平面垂直的证明，考查直线与平面平行的证明，考查二面角的余弦值的求法，解题时要注意空间思维能力的培养．