Question

已知抛物线C的顶点在原点，焦点在y轴上，抛物线上点M（x，4）（x＞0）到准线的距离是5．
（Ⅰ）求抛物线C的方程；
（Ⅱ）执行如图所示程序框图，若输入的x的值为M点的横坐标，请根据输出的i的值，求圆锥曲线C：

x2

i-3

+

y2

8-i

=1的离心率．

Answer 1

考点：程序框图,椭圆的简单性质

专题：圆锥曲线的定义、性质与方程,算法和程序框图

分析：（Ⅰ）由题意，故可设抛物线方程为x²=2py（p＞0），抛物线的准线方程为：y=-

p

2

，则有

p

2

+4=5，即解得p=2，可求抛物线C的方程．
（Ⅱ）由点M（x，4）（x＞0）在抛物线x²=4y上，解得x=4，输入x=4，执行如图所示程序框图可得i=4，可得圆锥曲线C的方程为：x²+

y2

4

=1，故可求e．

解答： 解：（Ⅰ）∵抛物线上点M（x，4），
∴抛物线的焦点在y轴的正半轴，故可设抛物线方程为x²=2py（p＞0）…1分
∴抛物线的准线方程为：y=-

p

2

…3分
又∵点M（x，4）（x＞0）到准线的距离是5…5分
∴

p

2

+4=5，即p=2
所以，抛物线C的方程为x²=4y…6分
（Ⅱ）∵点M（x，4）（x＞0）在抛物线x²=4y上
∴x=4
∴输入x=4，执行如图所示程序框图可得：i=4…9分
∴可得圆锥曲线C的方程为：x²+

y2

4

=1，是焦点在y轴上的椭圆
∴a=2，b=1
∴c=

a2-b2

=

3

∴e=

c

a

=

3

2

，所以椭圆的离心率为

3

2

…12分

点评：本题主要考查了程序框图和算法，椭圆的简单性质，综合性较强，属于中档题．