Question

设f（x）是定义在R上的恒不为零的函数，对任意实数x，y∈R，都有f（x）•f（y）=f（x+y），若a₁=

1

2

，a_n=f（n）（n∈N^*），则数列{a_n}的前n项和S_n的取值范围是（　　）

• A、[

  1

  2

  ，2）
• B、[

  1

  2

  ，2]
• C、[

  1

  2

  ，1）
• D、[

  1

  2

  ，1]

Answer 1

考点：抽象函数及其应用

专题：函数的性质及应用,等差数列与等比数列

分析：根据f（x）•f（y）=f（x+y），令x=n，y=1，可得数列{a_n}是以

1

2

为首项，以

1

2

为等比的等比数列，进而可以求得S_n，进而S_n的取值范围．

解答： 解：∵对任意x，y∈R，都有f（x）•f（y）=f（x+y），
∴令x=n，y=1，得f（n）•f（1）=f（n+1），
即

an+1

an

=

f(n+1)

f(n)

=f（1）=

1

2

，
∴数列{a_n}是以

1

2

为首项，以

1

2

为等比的等比数列，
∴a_n=f（n）=（

1

2

）ⁿ，
∴S_n=

1 2 (1- 1 2n )

1- 1 2

=1-（

1

2

）ⁿ∈[

1

2

，1）．
故选C．

点评：本题主要考查了等比数列的求和问题，解题的关键是根据对任意x，y∈R，都有f（x）•f（y）=f（x+y）得到数列{a_n}是等比数列，属中档题．