Question

如图，在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AA₁=AB，∠ABC=90°，侧面A₁ABB₁⊥底面ABC．
（I）求证：AB₁⊥平面A₁BC；
（II）若AC=5，BC=3，∠A₁AB=60°，求二面角B-A₁C-C₁的余弦值．

Answer 1

考点：二面角的平面角及求法,直线与平面垂直的判定

专题：空间位置关系与距离,空间角

分析：（Ⅰ）由四边形A₁ABB₁为菱形，得对角线AB₁⊥A₁B，由侧面A₁ABB₁⊥底面ABC，∠ABC=90°，得CB⊥侧面A₁ABB₁，从而CB⊥AB₁，由此能证明AB₁⊥平面A₁BC．
（Ⅱ）由勾股定理得AB=4，由菱形A₁ABB₁中∠A₁AB=60°，得△A₁AB为正三角形，以菱形A₁ABB₁的对角线交点O为坐标原点OA₁方向为x轴，OA方向为y轴，过O且与BC平行的方向为z 轴建立如图空间直角坐标系，分别求出平面A₁CC₁的法向量和平面A₁BC的法向量，由此能求出二面角B-A₁C-C₁的余弦值．

解答： （Ⅰ）证明：在侧面A₁ABB₁中，因为A₁A=AB，
所以四边形A₁ABB₁为菱形，
所以对角线AB₁⊥A₁B，…（2分）
因为侧面A₁ABB₁⊥底面ABC，∠ABC=90°，
所以CB⊥侧面A₁ABB₁，
因为AB₁?平面A₁ABB₁内，所以CB⊥AB₁，…（4分）
又因为A₁B∩BC=B，
所以AB₁⊥平面A₁BC． …（6分）
（Ⅱ）解：在Rt△ABC中，AC=5，BC=3，
所以AB=

AC2+BC2

=4，
又菱形A₁ABB₁中，因为∠A₁AB=60°，所以△A₁AB为正三角形，
如图，以菱形A₁ABB₁的对角线交点O为坐标原点OA₁方向为x轴，OA方向为y轴，
过O且与BC平行的方向为z 轴建立如图空间直角坐标系，
则A₁（2，0，0），B（-2，0，0），C（-2，0，3），
B₁（0，-2

3

，0），C₁（0，-2

3

，3），
∴

C1C

=（-2，2

3

，0），

C1A1

=（2，2

3

，-3），
设

n

=（x，y，z）为平面A₁CC₁的法向量，
则

n • C1C =-2x+2y=0 n • C1A1 =2x+2y-3z=0

，取x=3，得

n

=（3，

3

，4），
又

OB1

=（0，-2

3

，0）是平面A₁BC的一个法向量，
∴cos＜

n

，

OB1

＞=

n • OB1

| n |•| OB1 |

=

-6

2 7 •2 3

=-

21

14

，
∴二面角B-A₁C-C₁的余弦值为-

21

14

．…（12分）

点评：本题考查直线与平面垂直的证明，考查二面角的余弦值的求法，涉及到线线、线面、面面平行与垂直的性质、勾股定理、向量法等知识点的合理运用，是中档题．