Question

设函数y=f（x）对任意非零实数x₁、x₂满足f（x₁x₂）=f（x₁）+f（x₂）．
（1）证明：f（1）=f（-1）=0；
（2）证明：f（x）是偶函数；
（3）已知f（x）为（0，+∞）上的增函数，且满足f（x）+f（

x-1

2

）＜0，求x的值．

Answer 1

考点：抽象函数及其应用,函数奇偶性的判断

专题：函数的性质及应用

分析：（1）先令x₁=x₂=1，x₁=x₂=-1求得f（1）=0，f（-1）=0即可；
（2）由（1）得f（-x）=f（-1）+f（x）=f（x），即f（-x）=f（x），从而得到f（x）为偶函数；
（3）由函数为偶函数，得到f（x）在（-∞，0）上为减函数，构造不等式组，解得即可

解答： 解：（1）分别令x₁=x₂=1，x₁=x₂=-1代入可得f（1）=0，f（-1）=0
∴f（1）=f（-1）=0
（2）∵f（-x）=f（-1）+f（x）=f（x），
∴f（x）为偶函数
（3）∵f（x）为偶函数，f（x）在（0，+∞）上为增函数，
∴f（x）在（-∞，0）上为减函数，
∵f（x）+f（

x-1

2

）＜0，
∴f[x•

1

2

（x-1）]=f[

1

2

（x²-x）]＜0=f（1）=f（-1），
∴

x• 1 2 (x-1)≠0 x• 1 2 (x-1)＜1 x• 1 2 (x-1)＞-1

∴-1＜x＜2，且x≠0，x≠1，
∴x的范围为（-1，0）∪（0，1）∪（1，2）

点评：本小题主要考查函数单调性的应用、函数奇偶性的应用、不等式的解法等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想．属于中档题