Question

在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a，b，c，且

3

（a-ccosB）=bsinC
（1）求角C；
（2）若△ABC的面积S=

3

3

，a+b=4，求sinAsinB及cosAcosB的值．

Answer 1

考点：正弦定理,余弦定理

专题：计算题,解三角形

分析：（1）利用正弦定理化边为角，化简后可求；
（2）由

1

2

absinC=

3

3

，得ab=

4

3

，又a+b=4，运用余弦定理可求c，由正弦定理可得

b

sinB

=

a

sinA

=

c

sinC

=

2 3

sin60°

=4，由此可得sinAsinB=

ab

16

；cosAcosB=

1-sin2A

•

1-sin2B

=

1- a2 16

•

1- b2 16

，配方代入数值可求；

解答： 解：（1）

3

（a-ccosB）=bsinC，
由正弦定理，得

3

（sinA-sinCcosB）=sinBsinC，

3

sin（A+B）-

3

sinCcosB=sinBsinC，即

3

sinBcosC=sinBsinC，
∴tanC=

3

，则C=60°；
（2）

1

2

absinC=

1

2

absin60°=

3

3

，
∴ab=

4

3

，又a+b=4，
∴由余弦定理，得c²=a²+b²-2abcosC=（a+b）²-3ab=12，
∴c=2

3

，
由正弦定理，得

b

sinB

=

a

sinA

=

c

sinC

=

2 3

sin60°

=4，
∴a=4sinA，b=4sinB，
∴sinAsinB=

ab

16

=

4 3

16

=

1

12

；
可判断A、B均为锐角，
∴cosAcosB=

1-sin2A

•

1-sin2B

=

1- a2 16

•

1- b2 16

=

1- a2+b2 16 + a2b2 256

=

1- (a+b)2-2ab 16 + a2b2 256

=

5

12

，
故sinAsinB=

1

12

，cosAcosB=

5

12

．

点评：该题考查正弦定理、余弦定理及其应用，考查三角形面积公式、两角和与差是三角函数等知识，考查学生综合运用知识解决问题的能力．