Question

设m∈N^*，log₂m的整数部分用F（m）表示，则F（1）+F（2）+F（3）+…+F（256）的值是

 

．

Answer 1

考点：对数的运算性质

专题：新定义,点列、递归数列与数学归纳法

分析：先找到能使log₂m是整数的m值，再找介于相邻的两个这样的数值之间的整数个数，求值相加即可．

解答： 解：由题意，
F（1）+F（2）+F（3）+F（4）+F（5）+F（6）+F（7）+F（8）+…+F（256）
=F（1）+F（2）+F（2）+F（4）+F（4）+F（4）+F（4）+F（8）+…+F（256）
=（0+1×2+2×2²+3×2³+4×2⁴+…+7×2⁷）+8，
设S=1×2+2×2²+3×2³+4×2⁴+…+7×2⁷，
则2S=1×2²+2×2³+3×2⁴+4×2⁵+…+7×2⁸，
∴两式相减，得-S=2+2²+2³+2⁴+…+2⁷-7×2⁸=

2(1-27)

1-2

-7×2⁸=-6×2⁸-2；
∴S=6×2⁸+2；
∴F（1）+F（2）+…+F（1024）=6×2⁸+2+8=1546
故答案为：1546．

点评：本题考查了对数运算以及数列求和的错位相减法，解题时应对问题有较强的归纳分析能力和较好的运算能力，是中档题目．