Question

已知等差数列{a_n}的首项a₁=1，公差d＞0，且第二项、第五项、第十四项成等比数列．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）设b_n=

1

n(an+3)

 （n∈N^*），求数列{b_n}的前n项和S_n
（3）在第（2）问的前提下，是否存在最大的整数t，使得对任意的n均有S_n＞

t

36

总成立？若存在，求出t；若不存在，请说明理由．

Answer 1

考点：等差数列的性质

专题：计算题,等差数列与等比数列

分析：（1）利用等差数列的通项公式将第二项，第五项，第十四项用{a_n}的首项与公差表示，再据此三项成等比数列，列出方程，求出公差，利用等差数列求出数列{a_n}的通项公式；
（2）利用裂项法求和，可得结论；
（3）S_n＞

t

36

，即

n

2n+2

＞

t

36

，可求最大的整数t．

解答： 解：（1）∵a₂=1+d，a₅=1+4d，a₁₄=1+13d
∴（1+4d）²=（1+d）（1+13d）
∵d＞0
∴d=2
∴a_n=1+2（n-1）=2n-1；
（2）b_n=

1

n(an+3)

=

1

2

（

1

n

-

1

n+1

），
∴S_n=

1

2

（1-

1

2

+

1

2

-

1

3

+…+

1

n

-

1

n+1

）=

1

2

（1-

1

n+1

）=

n

2n+2

；
（3）S_n＞

t

36

，即

n

2n+2

＞

t

36

，
∴

1

2

≥

t

36

，
∴t≤18，
∴最大的整数t为18．

点评：本题主要考查了利用基本量表示等差数列、等比数列的通项，考查裂项法，难度中等．