Question

已知函数f（x）=ax²-lnx-1（a∈R），求f（x）在[1，e]上的最小值．

Answer 1

考点：利用导数求闭区间上函数的最值,利用导数研究函数的极值

专题：导数的综合应用

分析：求函数的导数，根据函数最值和导数之间的关系，讨论a的取值对函数最值的影响，即可得到结论．

解答： 解：f′（x）=2ax-

1

x

=

2ax2-1

x

，
当a≤0时，f′（x）＜0，f（x）在[1，e]上为减函数，所以f（x）的最大值为f（1），最小值为f（e）=ae²-2．
当a＞0时，令f′（x）=0得2ax²=1，①
由①得x=

1 2a

，
（1）若

1 2a

≤1，即a≥

1

2

时，f′（x）≥0，f（x）在[1，e]上为增函数，
∴最小值为f（1）=a-1
（2）若1＜

1 2a

＜e，即

e2

2

＜a＜

1

2

时，f（x）在（1，

1 2a

）上为减函数，在（

1 2a

，e）上为增函数，
∴当x=

1 2a

，函数f（x）取得极小值，同时也是最小值f（

1 2a

）=

1

2

-ln

1 2a

-1=-

1

2

-ln

1 2a

，
（3）若

1 2a

≥e，即a≤

e2

2

时，f（x）在（1，e）上为减函数，最小值为f（e）=ae²-2，
综上得：a≥

1

2

时，最小值为a-1；

e2

2

＜a＜

1

2

时，最小值为-

1

2

-ln

1 2a

，
若a≤0或a≤

e2

2

时，最小值f（e）=ae²-2．

点评：本题考查利用导数求函数在闭区间上的最值，考查分类讨论思想，考查学生推理论证能力，属中档题．