Question

在三棱柱ABCA₁B₁C₁中，棱AA₁与底面ABC垂直，△ABC为等腰直角三角形，AB=AC=AA₁，D，E，F分别为B₁A，C₁C，BC的中点．
（1）求证：DE∥平面ABC；
（2）求证：平面AB₁F⊥平面AEF．

Answer 1

考点：平面与平面垂直的判定,直线与平面平行的判定

专题：证明题,空间位置关系与距离

分析：（1）证明四边形DECG是平行四边形，可得DE∥GC，即可证明DE∥平面ABC；
（2）证明平面AB₁F⊥平面AEF，只需证明B₁F⊥平面AEF即可．

解答： 证明：（1）取AB的中点为G，连接DG，GC．
∵D是AB₁的中点，∴DG∥BB₁，且DG=

1

2

BB₁，
又∵BB₁∥CC₁，CE=

1

2

CC₁，
∴DG∥CE且DG=CE，
∴四边形DECG是平行四边形，
∴DE∥GC，
又∵DE?平面ABC，GC?平面ABC，
∴DE∥平面ABC．
（2）∵△ABC为等腰直角三角形，F为BC的中点，∴BC⊥AF，
由题意知，B₁B⊥平面ABC，∴B₁B⊥AF，
又∵B₁B∩BC=B，
∴AF⊥平面B₁BF，
∴AF⊥B₁F，
设AB=AA₁=2，则B₁F=

6

，EF=

3

，B₁E=3，
故B₁E²=B₁F²+EF²，∴B₁F⊥EF，
又∵AF∩EF=F，
∴B₁F⊥平面AEF，
又∵B₁F?平面AB₁F，∴平面AB₁F⊥平面AEF．

点评：本题考查平面与平面垂直的判定、直线与平面平行的判定，考查学生分析解决问题的能力，正确运用平面与平面垂直、直线与平面平行的判定定理是关键．