Question

14．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若3acosC+b=0，则tanB的最大值是$\frac{3}{4}$．

Answer 1

分析 利用正弦定理、诱导公式化简所给的条件求得 tanC=-4tanA，且tanA＞0，再利用两角和的正切公式，基本不等式，求得tanB的最大值．

解答 解：在△ABC中，∵3acosC+b=0，∴C为钝角，利用正弦定理可得 3sinAcosC+sin（A+C）=0，
即3sinAcosC+sinAcosC+cosAsinC=0，∴4sinAcosC=-cosAsinC，
即 tanC=-4tanA，∴tanA＞0，
则tanB=-tan（A+C）=-$\frac{tanA+tanC}{1-tanAtanC}$=$\frac{tanA+tanC}{tanAtanC-1}$=$\frac{-3tanA}{-{4tan}^{2}A-1}$=$\frac{3}{4tanA+\frac{1}{tanA}}$≤$\frac{3}{2\sqrt{4}}$=$\frac{3}{4}$，
当且仅当tanA=$\frac{1}{2}$时，取等号，故tanB的最大值是$\frac{3}{4}$，
故答案为：$\frac{3}{4}$．

点评 本题主要考查正弦定理、诱导公式、两角和的正切公式的应用，基本不等式，属于中档题．