Question

5．如图，某儿童公园设计一个直角三角形游乐滑梯，AO为滑道，∠OBA为直角，OB=20米，设∠AOB=θrad，一个小朋友从点A沿滑道往下滑，记小朋友下滑的时间为t秒，已知小朋友下滑的长度s与t²和sinθ的积成正比，当$θ=\frac{π}{6}$时，小朋友下滑2秒时的长度恰好为10米．
（1）求s关于时间t的函数的表达式；
（2）请确定θ的值，使小朋友从点A滑到O所需的时间最短．

Answer 1

分析 （1）由题意，设出设S=kt²sinθ的表达式，当$θ=\frac{π}{6}$时，S=10，求解k，可得s关于时间t的函数的表达式；
（2）把OA用θ表示出来，建立关系，化简，利用三角函数的有界限求解即可．

解答 解：（1）由题意，设S=kt²sinθ，t＞0，
当$θ=\frac{π}{6}$时，S=10，
∴$10=k×{2^2}sin\frac{π}{6}$，
解得：k=5，
∴故得S关于时间t的函数的表达式；S=5t²sinθ，t＞0；
（2）由题意，∠OBA为直角，∠AOB=θrad，
可得：$OA=\frac{20}{cosθ}$，
∴$\frac{20}{cosθ}=5{t^2}sinθ$，
化简可得：$t=\sqrt{\frac{4}{sinθcosθ}}=\frac{{2\sqrt{2}}}{{\sqrt{sin2θ}}}$，
∴当$θ=\frac{π}{4}$时，时间t最短．

点评 本题考查了三角函数的在实际生活中的运用能力和计算能力．属于基础题