Question

18．已知向量$\overrightarrow a$=（1，-$\sqrt{3}$），$\overrightarrow b$=（sinx，cosx），f（x）=$\overrightarrow a$•$\overrightarrow b$，若f（θ）=0，求$\frac{{2{{cos}^2}\frac{θ}{2}-sinθ-1}}{{\sqrt{2}sin（θ+\frac{π}{4}）}}$的值．

Answer 1

分析 根据平面向量的数量积，利用同角的三角函数关系求出tanθ的值，再化简$\frac{{2{{cos}^2}\frac{θ}{2}-sinθ-1}}{{\sqrt{2}sin（θ+\frac{π}{4}）}}$并求值．

解答 解：向量$\overrightarrow a$=（1，-$\sqrt{3}$），$\overrightarrow b$=（sinx，cosx），
f（x）=$\overrightarrow a$•$\overrightarrow b$=sinx-$\sqrt{3}$cosx，
∴f（θ）=sinθ-$\sqrt{3}$cosθ=0，
∴$\frac{sinθ}{cosθ}$=tanθ=$\sqrt{3}$；
∴$\frac{{2{{cos}^2}\frac{θ}{2}-sinθ-1}}{{\sqrt{2}sin（θ+\frac{π}{4}）}}$=$\frac{2•\frac{1+cosθ}{2}-sinθ-1}{\sqrt{2}（sinθcos\frac{π}{4}+cosθsin\frac{π}{4}）}$
=$\frac{cosθ-sinθ}{sinθ+cosθ}$
=$\frac{1-tanθ}{tanθ+1}$
=$\frac{1-\sqrt{3}}{\sqrt{3}+1}$
=$\frac{{（1-\sqrt{3}）}^{2}}{{1}^{2}{-（\sqrt{3}）}^{2}}$
=$\sqrt{3}$-2．

点评 本题考查了平面向量的数量积运算和三角函数的化简求值问题，是中档题．