Question

8．已知P（x，y）为区域$\left\{\begin{array}{l}（x-y）（x+y）≥0\\-1≤x≤1\end{array}\right.$内的任意一点，A（2，1），则$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OP}$的最大值，最小值分别为（　　）

• A． 3，-3
• B． 1，-3
• C． 1，-1
• D． 3，-1

Answer 1

分析 作出不等式组对应的平面区域，利用z的几何意义，进行平移即可得到结论．

解答 解：作出不等式组对应的平面区域如图：P（x，y）为区域$\left\{\begin{array}{l}（x-y）（x+y）≥0\\-1≤x≤1\end{array}\right.$内的任意一点，A（2，1），则$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OP}$=2x+y，令z=2x+y得y=-2x+z，
平移直线y=-2x+z，由图象可知当直线y=-2x+z经过点A时，
直线y=-2x+z的截距最大，此时z最大，
当直线y=-2x+z经过点B（-1，-1）时，
直线y=-2x+z的截距最小，此时z最小，2×（-1）-1=-3
最小值为z=-1，
由$\left\{\begin{array}{l}{y=x}\\{x=1}\end{array}\right.$，解得A（1，1），此时最大值z=2×1+1=3，
故最大值3，最小值为-3，
故选：A．

点评 本题主要考查线性规划的应用，结合目标函数的几何意义，利用数形结合的数学思想是解决此类问题的基本方法．