Question

10．《九章算术》是东方数学思想之源，在卷五《商功》中有以下问题：今有羡除，下广六尺，上广一丈，深三尺，末广八尺，无深，袤七尺，问积几何？译文：如图所示的几何体是三个侧面皆为等腰梯形，其他两面为直角三角形的五面体，（前端）下宽6尺，上宽一丈，深3尺，末端宽8尺，无深，长7尺，则它的体积是84立方尺．

Answer 1

分析 五面体EF-ABCD中，四边形ADEF，ABCD，EFBC均为等腰梯形，EF∥AD∥BC，△ABF，△CDE均为直角三角形，连接BE，BD，AE，得到三个三棱锥，设三棱锥BAEF的体积为V₁，三棱锥BAED的体积为V₂，三棱锥BDEC的体积为V₃，分别求出三个三棱锥的体积，作和即可求出五面体的体积．

解答 解：如图，五面体EF-ABCD中，四边形ADEF，ABCD，EFBC均为等腰梯形，
EF∥AD∥BC，△ABF，△CDE均为直角三角形，
EF=6，AD=10，BC=8，
EF到平面ABCD的距离为3，AD与BC的距离为7，
连接BE，BD，AE，
得到三个三棱锥，设三棱锥BAEF的体积为V₁，三棱锥BAED的体积为V₂，三棱锥BDEC的体积为V₃，
则${V}_{3}=\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×8×7×3=28$，${V}_{2}=\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×10×7×3=35$，
${V}_{1}=\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×6×3×7=21$．
∴五面体的体积：V=V₁+V₂+V₃=28+35+21=84（立方尺）．
故答案为：84．

点评 本题考查几何体的体积及直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系等基础知识，考查考查推理论证能力、运算求解能力、空间想象能力，考查化归转化思想，数形结合思想，是中档题．