Question

13．已知数列{a_n}满足：a₁=-2，a₂=1，且a_n+1=-$\frac{1}{2}$（a_n+a_n+2），则{a_n}的前n项和S_n=$\left\{\begin{array}{l}{-k，n=2k}\\{k-3，n=2k-1}\end{array}\right.$（k∈N^*）．

Answer 1

分析 a_n+1=-$\frac{1}{2}$（a_n+a_n+2），可得a_n+2+a_n+1=-（a_n+1+a_n）．利用等比数列的通项公式可得：a_n+1+a_n=（-1）ⁿ．可得a_2k-1+a_2k=-1，a_2k+1+a_2k=1（k∈N^*）．对n分类讨论，即可得出前n项和．

解答 解：∵a_n+1=-$\frac{1}{2}$（a_n+a_n+2），
∴a_n+2+a_n+1=-（a_n+1+a_n）．
∴数列{a_n+1+a_n}是等比数列，首项为-1，公比为-1．
∴a_n+1+a_n=（-1）ⁿ．
∴a_2k-1+a_2k=-1，a_2k+1+a_2k=1（k∈N^*）．
∴n=2k时，{a_n}的前n项和S_n=S_2k=-k．
n=2k-1时，{a_n}的前n项和S_n=-2+（k-1）=k-3．（k=1时也成立）．
∴，{a_n}的前n项和S_n=$\left\{\begin{array}{l}{-k，n=2k}\\{k-3，n=2k-1}\end{array}\right.$（k∈N^*）．
故答案为：$\left\{\begin{array}{l}{-k，n=2k}\\{k-3，n=2k-1}\end{array}\right.$（k∈N^*）．

点评 本题考查了数列递推关系、等比数列的通项公式、分组求和、分类讨论方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．