Question

12．（1）过点P（3，2），且在x轴上的截距等于y轴上的截距2倍的直线方程；
（2）若一直线被直线4x+y+6=0和3x-5y-6=0截得的线段的中点恰好在坐标原点，求这条直线方程．

Answer 1

分析 （1）当直线不过原点时，设直线的方程为$\frac{x}{2a}$+$\frac{y}{a}$=1，把点P（2，3）代入求得a的值，即可求得直线方程，当直线过原点时，直线的方程可设为y=kx，把点P（2，3）代入求得k的值，即可求得直线方程，综合可得答案．
（2）截得的线段的中点恰好是坐标原点，直线l与4x+y+6=0和3x-5y-6=0的交点关于原点对称，交点适合两直线，联立方程，又直线过原点，因而消去常数可得所求直线方程．

解答 解：（1）当直线不过原点时，设直线的方程为 $\frac{x}{2a}$+$\frac{y}{a}$=1，
将点P（2，3）代入可得，$\frac{2}{2a}$+$\frac{3}{a}$=1，
∴a=4，
此时，直线方程为$\frac{x}{8}$+$\frac{y}{4}$=1即x+2y-8=0，
当直线过原点时，直线的方程为y=kx，把点P（2，3）代入可得3=2k，
∴k=$\frac{3}{2}$，
即直线的方程为y=$\frac{3}{2}$x，即3x-2y=0，
综上可得，满足条件的直线方程为：x+2y-8=0或3x-2y=0．
（2）设所求直线l与已知两直线的交点分别是A、B，设A（x₀，y₀），
∵A、B关于原点对称，
∴B（-x₀，-y₀）．
又∵A、B分别在两直线上，
∴$\left\{\begin{array}{l}{4{x}_{0}+{y}_{0}+6=0}\\{-3{x}_{0}+5{y}_{0}-6=0}\end{array}\right.$，
解得x₀+6y₀=0，即点A在直线x+6y=0上，又直线x+6y=0过原点，
∴直线l的方程是x+6y=0．

点评 本题主要考查了求直线的方程，体现了分类讨论的数学思想，解题的关键讨论直线是否过原点，属于基础题．