Question

1．已知函数$f（x）=sinxcosx+\sqrt{3}{cos^2}x-\frac{{\sqrt{3}}}{2}$．
（1）求f（x）的最小正周期和对称轴；
（2）将函数f（x）的图象向右平移$\frac{π}{4}$个单位后，再将得到的图象上各点的横坐标缩短为原来的$\frac{1}{2}$，纵坐标不变，得到函数y=g（x）的图象，求g（x）的单调递增区间．

Answer 1

分析 （1）利用二倍角的正弦公式和辅助角公式，化简得f（x）=sin（2x+$\frac{π}{3}$），再由正弦函数的图象与性质加以计算，即可求出函数f（x）的最小正周期和对称轴；
（2）根据正弦函数图象的变换规律推知y=g（x）=sin（4x-$\frac{π}{6}$）的图象，利用正弦函数的图象和性质即可得出结论．．

解答 解：（1）$f（x）=sinxcosx+\sqrt{3}{cos^2}x-\frac{{\sqrt{3}}}{2}=\frac{1}{2}sin2x+\frac{{\sqrt{3}}}{2}cos2x=sin（2x+\frac{π}{3}）$，
最小正周期T=π．
$\begin{array}{l}由2x+\frac{π}{3}=kπ+\frac{π}{2}（k∈Z）得\\ 对称轴为x=\frac{kπ}{2}+\frac{π}{12}（k∈Z）\end{array}$
（2）由题可知$g（x）=sin（4x-\frac{π}{6}）$．
$\begin{array}{l}由2kπ-\frac{π}{2}≤4x-\frac{π}{6}≤2kπ+\frac{π}{2}（k∈Z）\\ 得\frac{kπ}{2}-\frac{π}{12}≤4x-\frac{π}{6}≤\frac{kπ}{2}+\frac{π}{6}\end{array}$
$所以g（x）的单调递增区间为[{\frac{kπ}{2}-\frac{π}{12}，\frac{kπ}{2}+\frac{π}{6}}]，（k∈Z）$．

点评 本题主要考查函数y=Asin（ωx+∅）的图象变换规律，考查了余弦函数的图象和性质的应用，属于基础题．